什么是超平面
数学中的超平面
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在数学中，超平面（Hyperplane）是n维欧氏空间中余维度等于1的线性子空间。这是平面中的直线、空间中的平面之推广.
$n$维超平面的方程定义为：
$a_1x_1+…+a_nx_n=b$，其中$a_1,…,a_n$是不全为0的常熟
即$w^Tx+b=0，$
其中，$w$与$x$都是$d$维列向量，$x=(x_1,x_2,…,x_n)$为超平面上的点，$w=(w_1,w_2,…,w_n)$为平面上的法向量,$b$是一个实数, 代表平面与原点之间的距离.
我们最常见的平面概念是在三维空间中定义的:$Ax+By+cZ+D=0$
超平面有两个性质：
- 方程是线性的: 是空间点的各分量的线性组合
- 方程数量为1
$d$维空间中的超平面其实就是维度比所在空间低一维的平面，即$d-1$维。例如3维空间的超平面是二维平面，二维空间的超平面是一条直线，一维空间的超平面是一个点.
点到超平面的距离
假设点$x′$为超平面$A:w^Tx+b=0$上的任意一点, 则点$x$到$A$的距离为$x−x′$在超平面法向量$w$上的投影长度:
$$
d=\frac{|w^T(x−x′)|}{||w||}=\frac{|wTx+b|}{||w||}
$$
超平面的正面与反面
一个超平面可以将它所在的空间分为两半, 它的法向量指向的那一半对应的一面是它的正面, 另一面则是它的反面.
判断一个点是在超平面的正面还是反面(面向的空间里)
还是要用到它的法向量$w$.
仍然假设点$x′$为超平面$A:wTx+b=0A:wTx+b=0$上的任意一点, 点$x$为待判断的点.
若$x−x′$与$w$的夹角小于$90^o$, 则$x$在$A$的正面, 否则在反面
$$
w^T(x−x′)>0
→w^Tx+b>0
$$
所以判定依据为:
$$
x在A的=\begin{cases}
正面,\quad\quad w^Tx+b>0\\
平面上,\quad w^Tx+b=0\\
反面,\quad\quad wTx+b<0x\\
\end{cases}
$$
若将距离公式中分子的绝对值去掉, 让它可以为正为负. 那么, 它的值正得越大, 代表点在平面的正向且与平面的距离越远. 反之, 它的值负得越大, 代表点在平面的反向且与平面的距离越远.
投影到超平面
对于$n$维空间上的向量$x = (x_1,x_2,…,x_n)$投影到一个法向量为$w$的超平面上的投影向量$x’$为：
$$
x’=x-w^Txw
$$